پروژه کارشناسی حل معادله دیفرانسیل رفتار نانوتیر تحت اثر جذب کاسیمیر به روش هموتوپی







دانشکده مهندسی مکانیک



نگارش:
*****************


استاد راهنما:
***************


پایان‌نامه برای دریافت درجه کارشناسی 
در رشته مهندسی مکانیک



تابستان 93 












چکیده:
*****************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
کلمات کلیدی:
روش هموتوپی، اثز نیروی کاسمیر، نانوتیر،











فهرست مطالب
1 فصل اول: ‌أ
1-1- مقدمه ای بر آنالیز هموتوپی 2
1-2- اساس روش آنالیز هموتوپی: 3
1-3- ایده ی نهفته در هموتوپی با ارائه ی یک مثال ساده 4
1-4- قضایای آنالیز هموتوپی 10
1-5- مثال‌های حل شده 13
1-5-1- مثال یک 13
1-5-2- مثال دوم 16
2 فصل دوم: 18
2-1- نیروی کازمیر 19
2-1-1- كازیمیر و كلوئیدها 20
2-1-2- فهم نیروی كازیمیر 20
2-2- مروری بر پژوهش‌های مربوط به اندازه‌گیری اثر كازیمیر 23
2-3- محاسبات بهبود یافته 25
2-4- اثر نیروی کازمیر در فیزیك جدید 26
2-5- پژوهش کنونی 27
3 فصل سوم: 33
3-1- مقدمه 35
3-2- حل معادله دیفرانسیل 35
4 فصل چهارم: 33
4-1- مقدمه 34

فهرست اشکال
شکل ‏2 1: نمای شماتیک از نانو تیرهای یک سر گیر دار و دوسر گیر دار 28








فصل اول:
مقدمه‌ای بر روش هموتوپی










مقدمه ای بر آنالیز هموتوپی

این روش در سال 1992 توسط آقای لیائو معرفی گردید که جهت حل چند معادله دیفرانسیل غیر خطی معمولی (ODE) مورد استفاده قرار گرفت. با معرفی این روش توسط آقای لیائو برتری های این روش نسبت به روشهای پیشین از جمله آدمیان و پرتوربیشن کلاسیک نمایان شد. از مزیتهای این روش قابل کنترل بودن ناحیه همگرایی است که مهمترین مزیت این روش در مقایسه با دیگر روشهاست. این ناحیه همگرایی به کاربر این امکان را می¬دهد تا علاوه بر اطمینان از صحیح بودن روش حل بتواند جواب صحیح را به راحتی انتخاب نماید.
وی در سال 1998 این روش را با روش المان مرزی ترکیب کرد و روش المان مرزی کلی را مطرح نمود. این روش در سالهای بعد توسط نویسندگان مختلفی مورد استفاده قرار گرفت. این روش در سال 2003 برای حل دسته معادلاتی از مدارهای الکتریکی به کار برده شد و همچنین جهت حل معادلات چنگ-چانگ از آن استفاده کرد . از این روش جهت یافتن حل تحلیلی برای نوسانات سیستمهای تحت اثر میرایی به کار رفت. لیائو این روش را جهت یافتن پاسخ تحلیلی برای معادله توماس-فرمی به کار برد . در سال 2004 لیائو این روش را جهت حل مسائل تشابهی لایه مرزی به کار گرفت . ونگ و همکاران در سال 2005 از این روش جهت یافتن پاسخ تحلیلی برای مسائل تناوبی موجها استفاده نمود. فتحی و همکاران ار این روش جهت حل معادلات غیر همگن بلازیوس بهره برد. سال ار این روش برای یافتن پاسخ تحلیلی معادلات مربوط به کلین-گردن استفاده نمود. عباس بندی در سال 2007 معادلات کی¬دی¬وی کوپل را با این روش حل نمود. در همین سال عباس بندی و لیائو این روش را با روش نیوتن ترکیب کردند و مقاله ای با عنوان نیوتن-هموتوپی ارئه نمودند. سانگ و ژنگ این روش را جهت یافتن پاسخ معادله کی¬دی¬وی-برگرز-کوراموتو به کار بردند. ونگ و همکاران این روش را برای معادله تفاضل دیفرانسیلی به کار گرفت. این روش ار سال 2007 تا 2009 جهت حل مسائل متعددی مورد استفاده قرار گرفت. مقالات زیادی در حوزه سیالات و جامدات توسط نویسندگان زیادی با استفاده از این روش به چاپ رسیده است.

اساس روش آنالیز هموتوپی:

روش HAM بر اساس هموتوپی پایه گذاری شده است. هموتوپی یک اصل در توپولوژی و معادلات دیفرانسیل می باشد ، که ادامه ی آن به تلاش های پوانکاره بر میگردد. به صورت عامیانه و ساده اگر بخواهیم آنالیز هموتوپی را شرح دهیم ، میتوان گفت به وسیله ی آنالیز هموتوپی میشود یک سری از حدس های اولیه را مورد ارزیابی قرار داد و بوسیله ی یک سری از پارامتر های کمکی یک سری از جوابها بدست آورد که به جواب دقیق همگرا میشود. این روش از امکاناتی چون آزادی عمل در انتخاب تابع اولیه و عملگر خطی بهره می برد. بوسیله همین آزادی عمل ها و انتخاب های اولیه یک مساله غیر خطی پیچیده حل میگردد و به مساله های خطی کوچکتر و ساده تبدیل می شود.برای توضیح روش هموتوپی از یک مساله ی خیلی ساده که به وسیله ی لیائو و تان شرح داده شده است شروع می کنیم.
ایده ی نهفته در هموتوپی با ارائه ی یک مثال ساده

به مساله غیر خطی و جبری زیر توجه کنید:
(1-1) 
قبل از شروع ما رابطه ی زیر را میسازیم:
(1-2) 
جایی که x0 حدس اولیه ما از پارامتر x می باشد و پارامتر هموتوپی خوانده میشود. واضح است که وقتی q=0 و q=1 ما داریم:
(1-3) 
همانطور که مشاهده میگردد با افزایش مقدار ض از 0 تا 1 مقدار نیز به طور مداوم از f(x)-f(x0) به f(x) تغییر می یابد. به چنین تغییرات پیوسته ای در معادله قبلی که توصیف گردید، تغییر شکل در توپولوجی میگویند. حال با قرار دادن برابر با صفر داریم:
(1-4) 
ما هم اکنون از بیان هموتوپی به یک سری از معادلات جبری رسیدیم. واضح است که جواب این سری از معادلات به مقدار q وابسته می باشد. پس این دسته از معادله ها میتواند به صورت زیر باز سازی گردد که بیانی از پارامتر q است
(1-5) 
وقتیq=0 جواب معادله
(1-6) 
و وقتی q=1 میباشد، ما داریم:
(1-7) 
و معادله (1-7) دقیقا مثل امعادله جبری f(x)=0 می باشد. بنابر این:
(1-8) 
بنابراین، با افزایش پارامتر هموتوپی از مقدار 0 تا 1 ، مقدار (q)φ هم از از حدس اولیه x0 به مقدار واقعی حل f(x)=0 میل می کند. ما به خانواده ای از معادلات که مثل رابطه ی (1-5) تعریف شوند معادلات تغییر یافته ی مرتبه صفر می‌گوییم.
به علت این که φ(q) الآن به یک تابع از پارامتر هموتوپی q تبدیل شده است، ما میتوانیم این تابع را بر اساس بسط مک لورین توصیف کنیم:
(1-9) 
جایی که φ(0)=0 وقتی که مقدار q را برابر با صفر قرار دهیم.
(1-10) 
در اینجا رابطه ی (1-9) به رابطه ی هموتوپی موسوم است و را مشتق مرتبه k ام هموتوپی می گویند. اگر فرض کنیم که سری هموتوپی در q=1 همگرا به جواب باشد. با توجه به این که می باشد. حل هموتوپی معادله f(x)=0 به صورت زیر میباشد:
(1-11) 
متاسفانه بازه ی همگرایی بسیاری از سریهای مک لورین توابع بسیار کوچک و کمتر از 1 می باشد. بنابراین ما در اینجا باید تصور نماییم که سری هموتوپی در q=1 همگرا می باشد. بر این محدودیت نیز با تعریف یک متغیر کمکی میتوان غلبه کرد.
بر اساس اصول اولیه ی تئوری حسابگان و دیفرانسیل در مورد سریهای تیلود بیان می کند که ثابت xk سری هموتوپی یکتا و منحصر به فرد می باشد، لذا می تواند به طور مستقیم از معادله تغییر یافته ی مرتبه صفر هموتوپی که در رابطه ی (1-4) بیان شده بود نتیجه گیری شود. با به کار بردن مشتق مرتبه اول هموتوپی در دو طرف معادله تغییر یافته ی مرتبه صفر، معادله تغییر یافته ی مرتبه یک به دست می آید:
(1-12) 
که جواب معادله به صورت زیر است
(1-13) 
با دو بار مشتق گرفتن از رابطه ی هموتوپی از معادله (1-4). معادله تغییر یافته ی مرتبه دوم نیز بدست می آید.:
(1-14) 
با این روش میتوان مقدار xk یکی پس از دیگری با مرتبه های مختلف به دست آورد. K=1,2,3 ,…… در اینجا لازم است که تاکید شود که تمام این معادلات تغییر یافته خطی هستند و به اسانی قابل حل می باشند. با نوشتن سری هموتوپی مرتبه یک تقریب x به صورت زیر است:
(1-15) 
و تقریب دوم سری هموتوپی به صورت زیر است
(1-16) 
توجه شود که رابطه (1-15) همان رابطه بازگشتی نیوتون برای حل معادلات جبری میباشد و رابطه‌ی (1-16) را می توان رابطه ی نیوتون مرتبه دوم نامید.
شیوه ی به کار گرفته شده در بالا به هیچ پارامتر فیزیکی وابسته نیست و اصلا مهم نیست که مساله ی غیر خطی دارای پارامتر های کوچک و بزرگ باشد یا خیر. ما همیشه میتوانیم پارامتر هموتوپی را برای ساختن یک معادله ی تغییر یافته ی مرتبه صفر بسازیم. متاسفانه سری استفاده شده در معادله ی (1-9) همیشه در q=1 همگرا نیست. بنابراین سری مربوطه در معادله (1-11) ممکن است واگرا شود. بسیار اتفاق می افتد که گاها روش بازگشتی نیوتون به جواب نمی انجامد، این به خاطر این است که سری نیوتون بر این فرضیه نوشته شده است که هموتوپی معدله در q=1 همگرا میشود. اما این فرضیه همیشه برقرار نیست، مخصوصا یرای معدله هایی که غیر خطی بودن در آنها شدید است. برای برطرف کردن این مشکل لیائو [81] پارامتر را برای ساخت معادله تغییر یافته ی هموتوپی ارائه کرد.
(1-17) 
تا زمانی که برقرار باشد معادله ی بالا در q=1 به معادله زیر تبدیل می شود
(1-18) 
که با معادله ی f(x)=0 برابر است. تمام معادلاتی که قبلا تعریف شد به همان شکل هستند و تغییری در انها به وجود نمی آید به غیر از معادلات تغیر یافته های مرتبه یک و دو و سه ... الی آخر. با به کار بردن مشتق هموتوپی در 2 طرف معادله (1-18) معادله تغییر یافته ی مرتبه یک به دست خواهد آمد.
(1-19) 
با مشتق گیری هموتوپی مرتبه دوم در دو طرف معادله (1-18) 
(1-20) 
که حل معادله بالا به صورت زیر میشود:
(1-21) 
به طور مشابه سری مرتبه یک هموتوپی به شکل زیر خواهد بود:
(1-22) 
و همچنین سری مرتبه دوم هموتوپی به شکل زیر خواهد بود.
(1-23) 
به طور وا ضح می توان بیان داشت (1-15) و (1-16) حالات خاصی از معادلات (1-22) و(1-23)به ازای مقدار h=-1 می باشند. کاملا مشخص است که انتخاب مناسب پارامتر h می تواند همگرایی سری های هموتوپی را تضمین نماید. در حقیقت این پارامتر کمکی h بوده است که برای اولین بار برای ما روشی به ارمغان آورد که همگرایی جواب را تضمین می دهد. به نظر می رسد که این کاملا منطقی است که اگر پارامتر h را پارامتر کنترل کننده ی همگرایی بنامیم .
جا دارد که تاکید شود که، بدون استفاده از پارامتر کنترل کننده ی h ، ما باید گاها بر خلاف واقعیت فرض کنیم که سریهایی همچون معادله (1-9) ی باشند. با وجود پارامتری همچون h همچین فرضی غیر ضروریست زیرا به نظر می رسد که همیشه میتوانیم یک پارامتر h مناسب انتخاب کنیم تا یک سری جواب همگرا داشته باشیم. لذا اضافه کردن پارامتر h به معادله ی تغییر یافته ی مرتبه صفر هموتوپی توانست این روش جدید و نوپا را بسیار قوی وپیشرفته سازد.

قضایای آنالیز هموتوپی
برای حل مسائل به روش آنالیز هموتوپی ، به یک سری دانسته های ریاضی نیاز داریم که بدون این دانسته ها حل معدلات بسیار مشکل میشود به طوری که ممکن است برای حل مسائل هموتوپی نیازمند صرف زمان بسیار زیادی برای یافتن معدلات تغییر یافته باشیم.لذا در اینجا سعی بر آن شده است یک سری از قضایای مفید آنالیز هموتوپی شرح داده شود.
تعریف (1). فرض کنیدφ تابع هموتوپی پارامتر q باشد، آنگاه
(1-24) 
عبارت بالا مشتق هموتوپی مرتبه m تابع φ خوانده میشود جایی که m یک عدد طبیعی است.
تعریف (2). فرض کنید [u]=0Ν یک معادله ی غیر خطی را نشان بدهد و φ تابع هموتوپی پارامتر q باشد که سری مک لورین آن به صورت زیر است:
(1-27) 
آنگاه خانواده ی معادله های 
(1-28) 
را معادله های تغییر یافته ی مرتبه صفر N(u)=0 می نامیم. در q=1 این تبدیل به معادله ی اصلی N(u)=0 می شود.جایی که
(1-29) 
سری معادله ی (1-27) سری هموتوپی گفته می شود و سری معادله ی (1-29) سری حل هموتوپی=0 N[u] گفته می شود و همچنین معادله ی حاکم بر uk معادله ی تبدیل یافته ی مرتبه k نامیده میشود.
قضیه 1. فرض کنید f و g دو تابع مستقل از پارامتر هموتوپی q باشند.برای سری های هموتوپی زیر داریم:
(1-30) 
(1-31) 
قضیه 2. برای سریهای هموتوپی زیر داریم
(1-30) 
روابط زیر حاکم می باشند
(1-32) 
(1-33) 
(1-34) 
(1-35) 
قضیه 3. فرض کنید L یک عملگر خطی غیر وابسته به q باشد.داریم
(1-36) 
قضیه 4. فرض کنید
(1-37) 
نشان دهنده ی یک سری هموتوپی باشد، جایی که q پارامتر هموتوپی است، و um تابع متغیرمکانی x و متغیر t باشد و L نیز عملگر انتخابی خطی باشد که روی t عمل میکند.آنگاه:
(1-38) 

مثال‌های حل شده
مثال یک
این مثال توسط لیائو و تانحل شده است که در این جا سعی بر آن شده است که حل را ساده تر بیان نماییم.
به مساله ارتعاشی زیر توجه کنید:
(1-39) 
از طبیعت مساله و فیزیک آن پیداست که جواب مساله یک تابع پریودیک است. از آنجا که می‌توان گفت که مجموع انرژی های پتانسیل و جنبشی ثابت هستند میتوان نتیجه گرفت که جواب مساله پریودیک می باشد.با در نظر گرفتن
(1-40) ، 
در اینجا مقدار ω نامعلوم است و در ادامه نحوه‌ی بدست آوردن آن توضیح داده خواهد شد.فرم معادله بعد از ساده سازی به صورت زیر در خواهد آمد
(1-41) 
از آنجا که u(τ+2π)=u(τ) فرم جواب را به صورت زیر انتخاب می کنیم
(1-42) 
حدس اولیه را به صورت زیر انتخاب می نماییم
(1-43) 
همانطور که دیده می شود حدس اولیه شرایط اولیه (1-43) را ارضا می کند.در ادامه ما معادله ی غیر خطی را به شکل زیر در نظر می گیریم.
(1-44) 
که در اینجا منظور از پریم مشتق نسبت به پارامتر τ می باشد.
از آنجا که مجهول های معادله تابع u و متغیر هر دو مجهول های ما هستند لذا داریم:
(1-45) 
(1-46) 
معادله‌ی تغییر یافته ی هموتوپی مرتبه صفر را به صورت زیر باز سازی میکنیم
(1-47) 
با توجه اینکه L باید یک عملگر خطی مشتق گیرنده باشد و با توجه به این که معکوس این عملگر ها روی توابع به صورت زیر است
(1-48) 
که در اینجا جواب خصوصی عملگر معکوس و جواب عمومی های این عملگر می باشند.از آنجا که ما میخواهیم جوابهایی به صورت cos(nτ) و sin(nτ) داشته باشیم. عملگر خطی را به صورت زیر تعریف می کنیم
(1-49) 
با گرفتن مشتق هموتوپی مرتبه m از معادله ی (1-49) شکل تغییر یافته ی هموتوپی مرتبه ئm به صورت زیر در می آید
(1-50) 
(1-51) 
با نوشتن رابطه ی هموتوپی مرتبه یک برای u0 و u1 داریم
(1-52) 
جایی که
(1-53) 
جایی که مقادیر ثابت هستندبه طور مثال برابر هستند با
(1-54) 
توجه شود که اگر در معادله ی (1-53) ضریب cos(τ) صفر نشود.آنگاه در معادله جمله های τcos(τ) به وجود خواهد آمد که جملات سکولار هستند و پریودیک بودن تابع را از بین می برند.لذا با صفر قرار دادن A1 مقدار تعیین می گردد.لذا
(1-55) 
لذا با رعایت شرایط مرزی و با توجه به عملگر انتخاب شده
(1-56) 
حال اگر فقط جواب را تا مرتبه یک بخواهیم ادامه دهیم جواب به صورت زیر است
(1-57) 
نقطه ی تعادل را می توان از رابطه ی زیر به دست اورد

لذا از لحاظ فیزیکی میشود گفت که δ حدس اولیه نقطه ی تعادلبرای جواب مرتبه یک می باشد.با در نظر گرفتن مقدار δ به دست خواهد آمد.
مثال دوم
یک تیر اویلر را در نظر بگیرید که روی یک بستر غیر الاستیک و غیر خطی قرار داردبار گسترده وارد بر تیر از طرف بستر با تغییر شکل تیر رابطه ی غیر خطی دارد. رابطه ی بار واردهاز طرف بستر مطابق زیر است
(1-58) 
که در اینجا μ پارامتر غیر خطی و W خیز تیر در نقطه ی x است.با نوشتن رابطه ی اویلر برای تیر داریم
(1-59) 
در اینجا P(x) نیرو بر واحد عرض تیر و b نیز اندازه ی عرض تیر می باشد.با در نظر گرفتن 
و تغییر متغیر که پارامتری بی بعد است، بعد طول را از معادله حذف می نماییم. شکل جدید معادله به شکل زیر در می آید:
(1-60) 



بروز رسانی : 1393-12-16 | بازدید : 1081

مطلب مرتبط دانلود فایل
روش تجزيه و تحليل داده ها
دفعات مشاهده (5513)
تعريف واژه ها واصطلاحات
دفعات مشاهده (4014)
محدوديت هاي پژوهش
دفعات مشاهده (2674)
مدیریت بیوریتم
دفعات مشاهده (1765)
موسسه حقوقی مدبران
دفعات مشاهده (1352)
انواع متغیرهای پژوهش
دفعات مشاهده (1030)
نام و نام خانوادگی
ایمیل شما
تلفن تماس شما
پیام شما
 
   
تبلیغات